6. 差を解釈するための指標

https://gyazo.com/4f7dfd91756d579cff6ea820ee6ff329

平均値の差だけではなく、いくつかの指標を併用することで、詳細に考察できるようになる

6.1. 効果量

RQ.5 効果量の点推定・区間推定

6.1.1. 標準偏差が共通した場合

$ \delta = \frac{\mu_1 - \mu_2}{\sigma} \qquad (6.1)

で定義される

平均値差は標準偏差の何倍かという指標

分子が正の値となるように実験群と対照群を選ぶと解釈しやすい

また、効果量という用語は、より一般的に、効果の量を表現する文脈で使用する場合もある

本書では効果量という用語を、標準化された平均値差の意味で利用する

差は群内の標準偏差との比で見ることにより、大きさを評価しやすくなる

平均値の差はそのままでは解釈しにくい場合がある

図6-1に、標準偏差が共通した場合の効果量を理解するための模式図を示す

https://gyazo.com/cc51dec9c8f45036345fd612daa7b0b7

左上＜右上＜左下＜右下の効果量の増加にともなって、2つの群が離れていく様子が示されている

6.1.2. 標準偏差が異なる場合

2群の標準偏差が異なるモデル(DEF)では、効果量は、平均値の差を一方の群の標準偏差で割った

$ \delta_g = \frac{\mu_1 - \mu_2}{\sigma_g}, \quad (g = 1,2) \qquad (6.2)

で定義される

これは第1群から見た第2群の隔たりと、第2群から見た第1群の隔たりが、互いに異なる可能性があるということを示している

効果量の定義式の分母に、一方の群の標準偏差を利用するとはどういうことか

https://gyazo.com/34aec3ee586c1b6a9e29f2837209a131

健常者集団から見た患者の平均的な位置までは、健常者自らの平均的な散らばりくらいの隔たりであるということ

6.1.3. 事後分布

効果量の事後分布は、EQU, DEFそれぞれの場合で以下の生成量によって近似できる

$ \delta^{(t)} = \frac{\mu_1^{(t)} - \mu_2^{(t)}}{\sigma^{(t)}} \qquad (6.3)

$ \delta_g^{(t)} = \frac{\mu_1^{(t)} - \mu_2^{(t)}}{\sigma_g^{(t)}}, \quad (g = 1, 2) \qquad (6.4)

近似された事後分布を要約して、点推定値、post.sd, %点、確信区間、片側上限、片側下限の点を評価する(RQ.5)

https://gyazo.com/0baafd2c0325293021d993c7abda3576

6.1.4. 基準点より大きい効果量

基準点を定めることによって、効果料が基準点より大きい(小さい)確率を求めることができる

$ u_{\delta>c}^{(t)} = \begin{cases} 1 & \delta^{(t)} > c \\ 0 & それ以外の場合 \end{cases} \qquad (6.5)

のEAPで評価する(RQ.6)

6.2. 非重複度

RQ.7 非重複度の点推定・区間推定

e.g. 聴音条件の平均値は、安静条件では何%点なのだろうか。その%点を非重複度と呼ぶとき、非重複度はどの区間にあるだろうか

e.g. 聴音条件の平均値が、安静条件の第3四分位(75%点)以上である確率はどの程度だろうか

6.2.1. 標準偏差が共通した場合

$ U_3 = F(\mu_1|\mu_2, \sigma) \qquad (6.6)

は平均値の差を解釈するときに有用

$ U_3 = 1 - F(\mu_2|\mu_1, \sigma) \qquad (6.7)

標準偏差が共通している場合には

$ F(\mu_1|\mu_2, \sigma) = 1 - F(\mu_2|\mu_1, \sigma) \qquad (6.8)

であるから、どちらか一方を計算すればすむ

図6-3に標準偏差が共通した場合の模式図を示す

https://gyazo.com/139df8056ecb2e40613692ce4d35a09f

左下図と右下図には(6.8)式が例示されている

6.2.2. 標準偏差が異なる場合

標準偏差が異なる場合には、一般的に(6.8)式は成り立たず

$ F(\mu_1|\mu_2, \sigma_2) \neq 1 - F(\mu_2|\mu_1, \sigma_1) \qquad (6.9)

$ U_{31} = F(\mu_1|\mu_2, \sigma_2) \qquad (6.10)

$ U_{32} = 1 - F(\mu_2|\mu_1, \sigma_1) \qquad (6.11)

は別の情報を持っている

図6-4は標準偏差が異なる場合の非重複度の模式図を示す

https://gyazo.com/2eea04265dc52a033587d06f2c0d9ead

左図と右図は同じ2つの分布を示しているが両者は異なった情報を示している

6.2.3. 事後分布

非重複度の事後分布は、たとえば(6.6)式ならば、生成量

$ U_3^{(t)} = F(\mu_1^{(t)}| \mu_2^{(t)}, \sigma^{(t)}) \qquad (6.12)

によって近似できる

(6.7)、(6.10)、(6.11)式もそれに応じた生成量で近似できる

近似された事後分布を要約して、点推定値、post.sd、%点、確信区間、片側上限、片側下限の点を評価する(RQ.7)

https://gyazo.com/fc61871bb224a1bf0e17162aec1f1aea

6.2.4. 基準確率より大きい非重複度

非重複度が基準確率より大きい確率を求めることができる

非重複度の基準確率は、実質科学的な知見が乏しい場合にも設定が容易

が正しい確率は生成量

$ u_{U_3>c}^{(t)} = \begin{cases} 1 & U_3^{(t)} > c \\ 0 & それ以外の場合 \end{cases} \qquad (6.13)

のEAPで評価する(RQ.8)

6.3. 優越率

RQ.9 優越率の点推定・区間推定

e.g. 聴音条件の測定値が安静条件の測定値を上回る確率はどの程度だろう。その確率を優越率と呼ぶとき、優越率はどの区間にあるだろうか。

6.3.1. 標準偏差が共通した場合

第1群の測定値が、第2群の測定値を上回る確率

2つの群の違いを表現するのは別の方法

標準偏差が共通する独立した2つの測定値の差は、以下に従う

$ x_1^* - x_2^* \sim N(\mu_1 - \mu_2 , \sqrt{2}\sigma) \qquad (6.14)

このことを利用すると優越率は、以下のように導かれる。

$ \begin{aligned} \pi_d & = p(x_1^* - x_2^* > 0) \\ & \small{[不等式の両辺から平均を引き、両辺を標準偏差で割り、標準化し]} \\ & = p\left(\frac{(x_1^* - x_2^*) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{2}\sigma} > \frac{0 - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{2}\sigma}\right) \\ & \small{[不等式の左辺は標準得点zで置き代え、右辺に効果量を代入し]} \\ & = p\left(z > \frac{-\delta}{\sqrt{2}}\right) = p\left(z < \frac{\delta}{\sqrt{2}}\right) = F\left(\frac{\delta}{\sqrt{2}}|0, 1\right) \qquad (6.15) \end{aligned}

6.3.2. 標準偏差が異なる場合

標準偏差が異なる独立した2つの測定値の差は、以下に従う

$ x_1^* - x_2^* \sim N\left(\mu_1 -\mu_2, \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}\right) \qquad (6.16)

このことを利用すると優越率は、以下のように導かれる(6.15式に相当)

$ \begin{aligned} \pi_d & = p\left(x_1^* - x_2^* >0\right) \\ & \small{[不等式の両辺を標準化し]} \\ & = p\left(\frac{(x_1^* - x_2^*) - (\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}} > \frac{0-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}\right) \\ & = p\left(z < \frac{\mu_1-\mu_2}{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}\right) \qquad (6.17) \end{aligned}

6.3.3. 事後分布

優越率を評価する方法は2種類ある

一つは優越率の事後分布を求める方法

$ \pi_d^{(t)} = F\left(\frac{\delta^{(t)}}{\sqrt{2}}\middle|\mu=0, \sigma=1\right) \qquad (6.18)

DEFでは以下の生成量によって近似できる

$ \pi_d^{(t)} = F\left(\frac{\mu_1^{(t)}-\mu_2^{(t)}}{\sqrt{\sigma_1^{2(t)} + \sigma_2^{2(t)}}}\middle|\mu=0, \sigma =1\right) \qquad (6.19)

近似された事後分布を要約して、点推定値、post.sd、%点、確信区間(この区間に入る確率は、確率の確率という意味で、メタ確率)、片側上限、片側下限の点を評価する(RQ.9)

6.3.4. 直接比較する方法

優越率を評価するもう一つの方法は、事後予測分布のMCMC標本をそのまま使用する方法

$ u_{x_1^* - x_2^* > 0}^{(t)} = \begin{cases} 1 & x_1^{*(t)} - x_2^{*(t)} > 0 \\ 0 & それ以外の場合 \end{cases} \qquad (6.20)

ただしこの方法は点推定値しか求まらない

https://gyazo.com/498b8e3e7c49f42b6d3f6cbe5e12470a

6.3.5. 基準確率より大きい優越率

優越率が基準確率を上回る確率を求めることができる

$ u_{\pi_d>c}^{(t)} = \begin{cases} 1 & \pi_d^{(t)} > c \\ 0 & それ以外の場合 \end{cases} \qquad (6.21)

6.4. 閾上率

RQ.11 閾上率の点推定・両側区間推定・片側区間推定の下限・上限

e.g. 聴音条件の測定値が安静条件の測定値を1秒より上回る確率はどの程度だろう。その確率を閾上率と呼ぶとき、閾上率はどの区間にあるだろうか

6.4.1. 標準偏差が共通した場合

閾上率は(6.14)四季を利用し、以下となる

$ \pi_c = p(x_1^* - x_2^* >c) = p\left(\frac{(x_1^* - x_2^*) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{2}\sigma} > \frac{c - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{2}\sigma}\right) = p\left( z < \frac{\mu_1 - \mu_2 - c}{\sqrt{2}\sigma}\right) \qquad (6.22)

6.4.2. 標準偏差が異なる場合

標準偏差が異なる場合の閾上率は、(6.16)式を利用し、以下となる

$ \pi_c = p(x_1^* - x_2^* > c) = p\left(\frac{(x_1^* - x_2^*) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}} > \frac{c - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}\right) = p\left( z < \frac{\mu_1 - \mu_2 - c}{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}\right) \qquad (6.23)

6.4.3. 事後分布

一つは閾上率の事後分布を求める方法

EQUでは以下の生成量によって近似できる

$ \pi_c^{(t)} = F\left(\frac{\mu_1^{(t)} - \mu_2^{(t)} - c}{\sqrt{2}\sigma^{(t)}}\middle|\mu=0, \sigma=1\right) \qquad (6.24)

DEFでは以下の生成量によって近似できる

$ \pi_c^{(t)} = F\left(\frac{\mu_1^{(t)} - \mu_2^{(t)} - c}{\sqrt{\sigma_1^{2(t)} + \sigma_2^{2(t)}}}\middle|\mu = 0, \sigma=1\right) \qquad (6.25)

近似された事後分布を要約して、点推定値、post.sd、%点、確信区間、片側上限、片側下限の点を評価する(RQ.11)

6.4.4. 直接比較する方法

閾上率を評価するもう一つの方法は、事後予測分布のMCMC標本をそのまま使用する方法

$ u_{x_1^* - x_2^* > c}^{(t)} = \begin{cases} 1 & x_1^{*(t)} - x_2^{*(t)} > c \\ 0 & それ以外の場合 \end{cases} \qquad (6.26)

ただしこの方法では点推定値しか求まらない

https://gyazo.com/0284db8a6b00744650bf087d66e20e39

6.4.5. 基準確率より大きい閾上率

閾上率が基準確率以上である確率を求めることができる

たとえば「第1群の測定値と第2群の測定値の差が1秒より大きい確率が75%より大きい」という研究命題の確率的評価

$ u_{p(x_1^* - x_2^*>c) > c'}^{(t)} = \begin{cases} 1 & \pi_c^{(t)} > c' \\ 0 & それ以外の場合 \end{cases} \qquad (6.27)

6.5. 情報量基準

EQUとDEFの2つのモデルによる分析結果を同時に示すことが煩雑な場合はどうしたらよいのだろうか

2群の標準偏差が類似しているときには、事後標準偏差が小さくなるのに加え、結果の表示が簡潔になるから、EQUの方が適している

2群の標準偏差が大きく異る時は、きめ細かい解釈が可能になるからDEFの方が適している

table: WAICによるモデルの比較

EQU DEF

WAIC 182.75 184.83

EQUのWAICの値が小さい

したがって、「知覚時間」のデータに対しては、WAICの観点からはEQUが選択される

放送授業

帰無仮説は採択しても棄却しても誤りを犯す可能性がある

帰無仮説が真であるのに帰無仮説を棄却してしまう誤り

帰無仮説が偽なのに帰無仮説を採択してしまう誤り

帰無仮説が偽であるときに、正しく帰無仮説を棄却する確率

table: 帰無仮説の2つの誤り

本当の状態 正しい判断 誤った判断